摘 要：作为现行微积分原理的完善，或者作为分析严格化的实变函数理论立得住吗？本文以通俗而简明的方式列举了实变函数理论的几处核心错误或误解，从而，让人们清楚实变函数理论作为现行微积分原理的完善的论据是靠不住的。
1 引言
就微积分原理的发展历程而言，发生过两次危机。第一次危机可以简称为贝克莱“鬼魂”[01]问题；第二次危机可以简称为“病态函数”问题。就定论的微积分发展史而言，不管是Carl B.Boyer的《微积分概念发展史》，还是William Dunham的《微积分历程》，都一致认为以A-L. Cauchy(1789-1857)为代表的大数学家解决了微积分原理的第一次危机，以G. Cantor(1845-1918)、R. Baire（1874-1932）和H. Lebesgue(1875-1941)为代表的大数学家解决了微积分原理的第二次危机。并且以Lebesgue在1904年发表《积分：长度和面积》为标志，数学界宣布现行微积分原理成为严密而完整的体系。事实上不然。
仅就从应用角度看微积分，有G. Leibniz(1646—1716)不彻底的微积分原理就可以了，不会影响微积分方法应用于具体科学和技术问题的。然而，人类为什么一定要建立科学的微积分原理呢？这是因为人类总要弄清楚这个来源于近似而得出结果却精确的方法能放之四海而皆准是为什么？还有，人类还要借助于这个原理发现更多微积分方法。应该说Cauchy想解决这个问题，可事实上并没有解决。
Cauchy的所谓微积分原理，即现行微积分原理，就是在无奈时拼接了一点儿莱布尼兹的微分的极限化的I. Newton(1642—1727)的“微积分原理”。牛顿的po/qo一经取极限，就再也拆不开了。因此，也就解释不了如今这样丰富的微积分方法，尤其是微分方程的一般解法。正是由于这个原因，Cauchy不得不拼接莱布尼兹的微分，以实现导数的微商形式。然而，错误也就因此而发生，见《现行微积分原理的错误》[02]一文。
对“病态函数”的研究，以Cauchy为代表的微积分原理遭到第二次怀疑，以Cantor、Baire和Lebesgue为代表的大数学家被认为解决了这第二次危机，并且这些工作的总辑称作实变函数理论。事实上不然，实变函数理论大多是错的。
不管 Newton、Leibniz、Cauchy还是其他人，都建立不起Leibniz意义的微积分原理，原因在于现行数学的数-形模型没有瞬时量。因为导数是两个瞬时量的比，即所谓瞬时变化率。极限可以蹩脚地说明瞬时变化率的存在，但是，没有瞬时量就没有瞬时量比的表达形式。
通过重新构造数学的数-形模型，我们可以重建微积分原理。这个微积分原理极其简单易学，它与罗宾逊的《非标准分析》一样，“证明了Leibniz的思想能够全面维护。”[03]
2 实变函数理论中的种种问题
人们总希望科学领域能成为一片远离集团斗争的净土，可是，事实上绝不是这样，不仅学术上也存在“冒着被责骂的危险”，[04]更严重的是学术观点的当政和在野，往往与持此种观点的人们的政治地位与经济地位相联系，“数学家也是人，也要吃饭、穿衣，”[05]因此，这就不可避免地导致学术观点辩论转化为学术集团的斗争。在阶级社会里，可以通过学术道德教育来一定程度地降低斗争的残酷性和卑鄙性，但是，道德教育还不可能根除这种残酷性和卑鄙性。正因为如此，学术当政者造假和欺骗就不应该是难以理解的事情。Newton[06]、Cauchy(1789-1857)[07]和柯西派的很多人不是这样吗？
从表面上看，“五.四”运动期间的文言文与白话文的斗争只是个语言问题。可从本质上看，文言文与白话文的斗争是政治问题，是人民群众可否跨越语言壁垒参与政治的问题。不管历史上的官方怎样强化作为政治壁垒的文言文，但是，都不可否认文言文与白话文在描述事物上的等价性。高度抽象化的符号语言与一般抽象化的符号语言在描述数学问题上也是等价的，白话的毛主席著作并不比文言的孔夫子经书逊色。我们不否认高度抽象化的符号语言具有节约篇幅的好处，在这一点上，它与文言文是一样的，难道主张和强化高度抽象符号语言就没有设置数学统治壁垒的用心吗？“五.四”运动的历史功绩之一就是肯定了白话文与文言文具有等同的学术地位和政治地位。
“学阀”是公认的学术现象，这是学术上集团斗争的典型表现。在阶级社会里，不是学术上有没有集团斗争的问题，而是是否明晰集团斗争存在的事实问题。明晰学术集团斗争的存在可以避免更多人上当受骗，可以使科学以它本应有的速度前进。
在有人怀疑毛泽东的文言文能力时，毛主席说：“我不仅对文言文驾轻就熟，而且写任何时代的文言文都可以乱真。”不采用高度抽象的符号化语言有助于更多的关心数学的人们理解和参与学术争鸣，有助于人民群众辨明谁理谁非。
我们使用白话还有一个原因。因为，我们与传统数学之争，已经不仅是科学与科学之争，而且还是科学与宗教——“数学教”之争，这样一来，耐心的思想工作是不能不做的。我们都知道，高度抽象的数学语言是不能做思想工作的。
下面，用白话阐述现行实变函数理论中的种种问题，也算作用白话指点一下迷津吧。
2.1 循环论证
现行数学声称，实数理论是严密而完整的，因为它以科学的极限理论为依托；极限论的科学性是不容置疑的，因为，它以严密而完整的实数理论为前提。当然，这是在两个场合说的，一旦放到一处，循环论证的荒唐便显而易见了。
在K. Weierstrass（1815- 1897）之后，1872年，Dedekind、Cantor、C. Méray(1835-1911)和H. Heine(1821-1881)几乎同时发表了他们各自的实数理论，其中，“戴德金处理这个问题的途径与维尔斯特拉斯、梅雷、海涅和康托尔的略有差别，因为他不考虑以什么方式定义无理数以避开柯西的恶性循环”[08]，也就是说，Dedekind实数构造方法——戴德金分割法是有别于后面三位的。有人曾以“戴德金分割”没用极限论为由说明如上循环论证不存在，事实真的如此吗？
这样，若承认极限论，就得否认Baire[13]和Lebesgue的理论；若承认Baire和Lebesgue的理论，极限论的实数定义就靠不住。还有，Cantor定义的实数是数而不是量，因此，没有测度，支持不了Lebesgue的测度理论。
2.2 总体与其局部可以一一对应纯系呓语
Dedekind和Cantor试图为“无穷集合理论”寻找一个基础。“他们在Bolzano的悖论中找到了这个，他们没有把它仅仅当做无穷集合的一个奇怪特性，而是把它作为一个无穷集合的定义。戴德金说‘如果系统S与其适当的部分相似，则它是无限系统；反之，则S为有限系统。’在这一定义之下，无穷集合作为逻辑上自相容的实体而存在，实数的定义就完成了。”[14]这就是康托主义者绞尽脑汁要人们接受，同时也是支撑现行微积分原理的依据——“总体与其局部可以一一对应”。这样，就有——如果系统S与其适当的部分相似，则它是无限系统；如果S是无限系统，则S就可以与其适当的部分相似——这就是大数学家的所为，这就是神圣不可侵犯的大数学家。不仅如此，人们还必须遵守“谆谆教导”，布尔巴基学派核心成员F.豪斯道夫说：“这一违反公理‘全体大于部分’的事实，即是‘无限的矛盾之一’，对此，我们必须习惯……”[15]
所谓的局部可以与整体一一对应，Cantor先生及其追随者是这样解释的：“对于有限集合，这当然是不可以的，可是，无限集合不同了。比如有限的自然数无法与这些自然数中的奇数一一对应，而无限的自然数就可以与这些无限的自然数中的奇数一一对应，可见，有限集合与无限集合不同。”这纯粹是疯语！Cantor先生这么想是因为他是精神病患者，其他人这么想怎么让人理解？
谁说无限集合中的局部可以与整个集合自身一一对应？凭什么这么说？谁给出过证明？
相反，设A、B、C、D、E为无限集合，A=B+C+D，再设C=E，则E为A的真子集。A中的真子集C足以与E一一对应（有公理保证），故而，E中再无元素可与B和D对应。这个简单的证明对无限集合和有限集合都适用。光看到A与E中的元素是无限的，就不区分增长速度地举出某一个对应方式，很不妥。这种观点的幼稚在于，因为E中具有无限多元素，所以，E就可以与（B+C+D）中的元素一一对应下去，可是，他们忘记了C与E是同步的无穷多，从而，B与D在E中找不到对应项。相反，谁举出某一个对应方式，谁就得给出可以这样列举的证明。有人说：“通过具体列举就可以证明一一对应。”我们说，这是无限集合，谁列举得完？他们还可以说：“给出列举方式就可以了。”我们说，忽视两个集合的增长速度（即关联关系）的列举方式是胡扯。当我们说E是A的真子集时，这就已经是关联关系了。
就自然数可以与其子集奇数一一对应的说法而言，一个是：1、2、3…n…；另一个是：1、3…（2n-1）。即使到了∞，n也是同步的，因此，自然数集合是奇数集合的2倍。当然，有人又会说：“这是有限集合的逻辑。”可是，主张无限集合具有上述特征的人给出过令人信服的证明吗？他们不也是承认全体自然数不能与全体实数建立一一对应关系吗？我们深知，科学在教徒那里是意义有限的，但是，我们仍然希望这些大白话可以给尚未意识到自己是教徒的教徒提个醒。
诚然，任意一个实数区间里的实数是可以与自然数建立一一对应关系的，这也就是通常所说的数数（这与1890年Cantor证明他的定理也是截然相反的）[16]，因为这两个无限集合没有关联关系。有人说：“不！自然数是实数的真子集。”我们说：“自然数集是实数集的真子集，自然数集可不是实数集子区间的真子集。”
2.3 Cantor定理的证明的前提不成立
Cantor定理的基本论点散见于似是而非的题为《论全体代数数的性质》的文章中，这篇文章发表于1874年克雷尔主编的《纯粹数学与应用数学》杂志上。Cantor自己满意的证明发表于1890年，这个证明的要点是：
“假定(0,1]是可数集，则必然存在(0,1]中所有实数的一个序列a1a2a3···an···，然后将每个这样的实数写成十进制小数形式，并约定将有理数写成无穷小数，如1/2=0.4999…，于是有：
再构造b=0.b1b2b3···bk···，并规定Pkk=1，则bk=9，若Pkk≠1，则bk=1，因此，b是(0,1]中的一个实数，但却不同于如上序列中的任何一个实数，这就与假设矛盾，因此，(0,1]是不可数的，同理，任何实数区间均不可数。”[17]
如上证明有前提性错误——实数不可以写作无限不循环小数，因为这里是纯数学而不是应用数学。有理数当然不是无限不循环小数，无理数也只是他自己，绝不是无限不循环小数。无限小数是动态的、不确定的数，而无理数是静态的、确定的数。如果用序列讲，无理数是无限不循环小数序列的极限，而不是它自身，也不是这个动态过程。Cantor的错误在于把无理数等同于该无理数对应的无限不循环小数序列的的动态过程。也就是说，Cantor把无限不循环小数序列的极限与无限不循环小数序列的动态延续混为一谈。
康托定理还有一种直观的证明方式，当然也是反证法。设（0,1]的所有点（数）可以排成
“a1a2a3…. （1）
人们还须注意一个事实，康托定理，除所谓的反证法之外，“即使在原则上也不可能给出直接的构造性证明.”[19]像H.Poincaré(1854—1912)、L.E.Brouwer（1881—1966）、H. Weyl（1885—1955）这类非假大空数学家是不承认从康托到希尔伯特的不严肃的东西的。
2.4 现行实数系没有测度
Lebesgue的原话是这样说的：“我希望首先对集合赋予数的属性，这种数类似于它们的长度。”[22]这种理论是使用排除法完成的，其证明的逻辑脉络为：区间及其对应的线段是有测度的，而代数数及其对应点的测度为0。可是，区间及其对应线段是由代数数及其对应点和超越数及其对应点构成的，所以，超越数及其对应点是测度的数学承担者。事实上，区间及其对应的线段不是由二者，而是由三者——代数数与超越数以及数与数的间隙共同构成，因此，只排除代数数是测度的数学承担者，但却不知道与实数一样多的间隙存在，就武断地说超越数及其对应点是测度的数学承担者，这种逻辑是可笑的。事实上，现行实数从来就没填满过数轴，因为现行数和点都是无度量的，而数轴是有度量的，无度量的数或点不管多到何种程度，数轴都是有空隙的，从这种空想出发的任何证明都是立不住的。数是不能有测度的，只有量才可以有测度。量是数的差。
背离Leibniz微积分思想的人总是不厌其烦地高叫“直觉不可靠”。直觉确实未必可靠，可是直觉可以让人轻而易举地发现荒唐，比如“局部可以与整体一一对应”。即使我们权且相信几何直观未必可靠，那么，解析几何也不可靠吗？解析几何告诉人们，超越数对应的点与代数数对应的点在解析几何意义上没有任何不同，代数数承担不了测度，超越数怎么就能承担测度呢？
再从另一个角度看测度论：一个超越（数）点的测度是0，可数无穷多个超越（数）点的测度也是0，而不可数无穷多个超越（数）点的测度就是非0的一个具体数值了。
除非是全体实数，否则，就不存在不可数无穷多。自然数集是实数集的真子集，因此，自然数不能与全体实数一一对应；而自然数不是实数集子区间的真子集，因而，它们之间没有关联关系，自然数可以与任意实数区间建立一一对应关系。正是这个道理，任意实数区间里的数都是可数的。
2.5实变函数论对刘维尔不等式的解释有错误
事实上，对Liouville不等式，即使是J.Liouville（1809-1882）本人也没有给出过合理的解释。“Liouville在1844年指出，代数数不能用有理数‘很好地’逼近…”[25]
3 结语
分析数学，尤其是近代分析，从来就不像对数学史知之甚少的数学工作者所理解得那个样子，也从来不像当代数学教科书所写的那个样子。以S.D.Poisson(1781-1840)为代表的数学家从来就不同意以柯西为代表的微积分原理，以H.Poincaré、F.Klein（1849-1925）等为代表的数学家从来就不同意实变函数理论。人们似乎忘记，“庞加莱、克莱因和希尔伯特，是在19世纪和20世纪数学交界线上耸立着的三个巨大身影。”[28]“三个巨大身影”中的两个都反对的东西，竟然会向希尔伯特一边倒，个中就不是数学之外的原因在起作用吗？
有的人在《浅谈现行微积分原理的错误》面前说：“这不过是古典微积分原理，这些问题在实变函数理论和现代分析那里早已解决。”“最基本内容已经成为分析数学各个分支的普遍基础”[29]的实变函数理论又有多少不是胡扯呢？
总而言之，这里不求如上论证个个四平八稳，只要其中有一个立得住，就足以说明作为现行微积分原理的完善的实变函数理论是立不住的。
参考文献
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[02]参见丁小平，浅谈现行微积分原理的错误，载《前沿科学》2015（4）.
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[21]参阅周民强，实变函数论（第二版），北京大学出版社，2008:51-59
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[23]W. Dunham，李伯民等译，微积分的历程，人民邮电出版社，2010:140.
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[26]参阅于秀源，超越数论基础，哈尔滨工业大学出版社，2011:35-39.
[27]参阅朱尧辰，无理数引论，中国科学技术大学出版社，2012:9-16.
[28]李文林，数学史概论，（第二版）高等教育出版社，2002:270.
[29]中国大百科全书（数学卷），中国大百科全书出版社，1988:279.
作者简介：丁小平（1962-）男，1986级清华大学工学硕士研究生，1988级北京大学理学硕士研究生和中央民族大学哲学硕士研究生。1984年至今一直从事高等教育和科学研究工作。
E-mail: mathchina@yeah.net
为方便读者阅读，以上内容根据丁小平先生发表于《前沿科学》上的论文整理而来
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