中国古代数学的顶峰

中国古代数学，到了宋元时期，出现了一个新的发展高潮。特别是宋末元初（公元13世纪下半叶）的几十年时间里，就更是这样。

在一定意义上讲，这几十年可以说是以筹算作为主要计算工具的中国古代数学的顶峰。

正是在这几十年的时间里，在中国的南方和北方，相继出现了秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰，号称宋元数学四大家。

这四大家的工作，堪称中国高度发达的宋元数学的代表。

秦九韶和《数书九章》

秦九韶，字道古，自称是山东人，实际上他青少年时代曾经生活在四川。当时人说他是“性极机巧，星象、音律、算术以至营造等事，无不精究”。

从秦九韶的数学思想看来，他原来主张“数与道非二本”，“夫物莫不有数”，认为数学“大则可以通神明、顺性命，小则可以经世务、类万物”。但是在经过十几年的潜心研究，他才认识到，“所谓通神明、顺性命，固肤末于见，若其小者，窃尝设为问答，以拟于用”，于是就编著了著名的《数书九章》，成书于宋理宗（赵昀，1205-1264）淳祐七年（公元1247年）。

《数书九章》全书共9章，每章9题，共收有81题。书里记述了宋元数学的许多成果，最重要的有两项：高次方程的数值解法和联立一次同余式解法。

在《九章算术》里已经有二次方程的数值解法，《缉古算经》里有三次方程的数值解法。北宋时期（公元11世纪上半叶）的天文学家、数学家贾宪已经能开高次方，还得出“开方作法本源图”，就是二项式定理系数表，在西方通常叫做“帕斯卡三角”。贾宪在这里已经应用了后来在西方称做“霍纳法”的计算方法。

秦九韶的《数书九章》就把贾宪的解法推广到高次方程（系数可正可负）的数值解中去，书里有三次方程一题，四次方程四题，十次方程一题。

宋元数学家在高次方程数值解法方面的成果，按贾宪的年代来说，比西方早出700多年，就是按秦九韶的年代来说，也早出近600年。

秦九韶《数书九章》里有所谓“大衍求一术”，就是联立一次同余式解法。在欧洲，最早接触一次同余式的，是和秦九韶同时代的意大利数学家斐波那契（1170-1250），但是水平和《孙子算经》相仿；直到公元18、19世纪，前面说过，才由瑞士数学家欧拉在公元1743年、德国数学家高斯在公元1801年，先后对一次同余式进行详细研究，重新获得和“大衍求一术”相同的定理，这已经比秦九韶晚了500年左右。

李治和“天元术”

如果说秦九韶是南宋的数学家，李治却活动在北方。

李治，又名李治，字仁卿，号敬斋，河北栾城人，曾在金代做过河南钧州（今河南禹县一带）知事，入元代后长期隐居，讲学于河北元氏县封龙山。

李冶的数学著作有《测圆海镜》12卷，成书于元定宗（贵由，1206-1248）三年（公元1248年）；《益古演段》3卷，成书于元宪宗（蒙哥，1208-1259）九年（公元1259年）。《测圆海镜》是我国现在流传下来的数学古典著作中首先系统地讲述“天元术”的一部，《益古演段》是为初学“天元术”的人而写的一部入门著作。

“天元术”就是中国古代的代数学。所谓“天元”代表未知数，“立天元一为某某”，相当于现代代数学中“设x为某某”。根据问题设未知数，进行包括未知数的各次幂在内的多项式的运算，最后列出有待求解的方程，这就是“天元术”的主要内容。

李冶的著作还开创了用代数方法解几何问题的先例。

杨辉和他的数学成就

杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，是南宋末年（公元13世纪中叶）的一位数学家。

杨辉的数学著作传世的有：《详解九章算法》12卷，成书于宋理宗景定二年（公元1261年）；《日用算法》2卷，成书于景定三年（公元1262年）；《杨辉算法》7卷，包括《乘除通变算宝》3卷，成书于宋度宗（赵禥，1240-1274）咸淳十年（公元1274年），《田亩比类乘除捷法》2卷，《续古摘奇算法》2卷，后两种成书于宋恭宗（赵㬎，1270-？）德祐元年（公元1275年）。

杨辉这些著作的主要特点在于它们密切联系当时的社会实际需要，可以说是日用算术、商用算术的开始。书里还记载了改革筹算的一些乘除简捷算法。

朱世杰和“四元术”

宋元四大家中，最杰出的要算是朱世杰。

朱世杰，字汉卿，号松庭，籍贯是现在的北京附近。关于他的生平，资料很少，只知道他“以数学名家周游湖海二十余年矣，四方之来学者日众”。看来，他应该说是我国古代第一个以数学教育作为职业的民间教育家，一个职业数学家。

朱世杰有两种数学著作传世：《算学启蒙》3卷，成书于元成宗（铁穆耳，1265-1307）大德三年（公元1299年）；《四元玉鉴》3卷，成书于大德七年（公元1303年）。

《算学启蒙》分20门，收有259题。这部书系统地由最初级的知识入手，叙述了四则运算起直到当时比较高深的“天元术”为止的数学知识，构成了一个相当完备的体系。它确实是一部比较好的、由浅入深的启蒙教科书。这大概是朱世杰为进行数学教育而编著的。

《四元玉鉴》分24门，收有288题。这部书囊括了朱世杰的数学研究成果。他的最主要的成果有两项。

一项是把“天元术”推广成为“四元术”。朱世杰用天、地、人、物四元来表示四个未知数，把算筹摆在平面上不同的位置来表示各未知数的不同幂次的各项系数。然后他利用四元式的各种运算，列出问题有待求解的多元高次方程组。朱世杰还发明了一整套的消去法来求解这样的方程组。朱世杰在这方面的成就，比法国数学家裴蜀在1779年的同类成果要早出470多年。《四元玉鉴》里共有四元高次方程组问题7题，三元的13题，二元的36题。

另一项是高次内插法公式的求得。内插法照现代数学的说法就是从某一函数在某一区间的两端点的已知值确定或估计这一区间的其他点的值。二次内插法（指这一函数是二次函数）在唐代早已通晓，元代郭守敬在元世祖至元十七年（公元1280年）编制授时历的时候用到三次内插，而朱世杰又给出了四次内插法的正确公式。由于朱世杰在《四元玉鉴》中对高阶等差级数有极其深入的研究，有理由可以认为他实际上已经给出了任意高次的内插公式。西方是由英国数学家格雷果里（1638-1675）在1670年、牛顿（1642-1727）在1676、1678年才获得同类成果的，比朱世杰晚了300多年。

朱世杰无愧是站在宋元数学家发展高潮顶端的人物，正如清代数学史家对他的评论说，“汉卿在宋元间，与秦道古、李仁卿可称鼎足而三。道古正负开方，仁卿天元如积，皆足上下千古。汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦、李两家之上。”这是比较公正的评价。20世纪杰出的美籍比利时科学史家乔治·萨顿（1884-1956）认为朱世杰是“他所生存的时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”，而他的《四元玉鉴》是“中国数学著作中最重要的一部，同时它也是中世纪最杰出的数学著作之一”。 

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